Math

符号 {symbols}

for	sym	html	latex	cn
plus		+	$+$
minus		−	$-$
Multiplication		×	$\times$
Division		÷	$\div$
Not Equal To		≠	$\ne$
Plus minus		±	$\plusmn$
real number	ℝ	ℝ	$\mathbb R$	实数
sum	∑	∑	$\sum$	求和
Delta	Δ	Δ	$\Delta$
Nabla	∇	∇	$\nabla$	纳布拉
ceiling	⌈⌉	⌈⌉	$\lceil \rceil$
floor	⌊⌋	⌊⌋	$\lfloor \rfloor$
Angle Bracket	⟨ ⟩	⟨ ⟩	$\lang \rang$
Dot Operator	⋅	⋅	$\sdot$
verbar		|	$\vert$

Nabla

gradien

divergence (∇⋅)

curl (∇×)

note

• HTML 使用十进制 ∇, Unicode 使用 十六进制。
• Latex 与 HTML 大多名字相同

• https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_Operators_(Unicode_block)
• https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_operators_and_symbols_in_Unicode
• https://unicode-table.com/en/sets/mathematical-signs/
• https://html.spec.whatwg.org/multipage/named-characters.html#named-character-references
  • HTML Named Enitties
  • https://html.spec.whatwg.org/entities.json
• https://katex.org/docs/support_table.html

Scalar

Vector

• 属性
  • length
  • distance
  • angle

notation	for	mean
$\left\|\mathbf{a}\right\|$	length	长度
$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$	dot product	点积
$\mathbf{a}\times\mathbf{b}$	cross product	叉积
$θ$	angle	$\angle\mathbf{a}\mathbf{b}$ 夹角

vector

an element of a vector space

$\reals ^n$

Euclidean vector

Hilbert space

Length

长度

$$\begin{alignat*}{2} \left\|\mathbf{a}\right\| &= \sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}} \\ &= \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \\ &= \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \end{alignat*}$$

Dot product

标量积

点积

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

$\left(x_1,\:\:\ldots ,\:\:x_n\right)\cdot \left(b,\:\:\ldots ,\:\:y_n\right)=\sum _{i=1}^nx_iy_i$

Cross product

矢量积

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\theta)\,\mathbf{n}$

Matrix

矩阵

Tensor

张量

• rank 0 - scalar - 标量、纯量
• rank 1 - vector - 向量
• rank 2 - matrix - 矩阵
• rank $m$ - $d_1 \times d_2 \times \cdots \times d_m$ where $d_i > 0$
  • $m$ - 称作 秩 或 阶
• 协变张量 - 指标在下
• 逆变张量 - 指标在上
• 混合张量 - 上下都有指标

---

• https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor

概率

abbr.	stand for	meaning
PMF	Probability Mass Function	概率质量函数

• 概率论
• 随机过程
• 随机变量
• 随机分布

期望

期望

Expectation

随机变量的“平均值”或者“加权平均值”。如果你重复进行一个随机实验很多很多次，那么每次结果的平均值就会越来越接近这个随机变量的期望。

$E(X)$

期望的意义：

期望是概率论中衡量随机变量集中趋势的重要指标。它告诉我们随机变量的平均表现会是什么样子。在风险评估、投资决策、精算等领域都有广泛应用。

离散随机变量的期望

$$E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)$$

其中 $x_i$ 是随机变量 $X$ 的可能取值，$P(X=x_i)$ 是 $X$ 取值为 $x_i$ 的概率。

连续随机变量的期望

$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$$

其中 $f(x)$ 是随机变量 $X$ 的概率密度函数。

概率分布

• 类型：
  • 离散概率分布 (Discrete Probability Distribution)： 随机变量只能取有限个或可数无限个特定值（通常是整数）。例如，抛硬币的次数、某个时间段内的顾客数量。
  • 连续概率分布 (Continuous Probability Distribution)： 随机变量可以在一个连续区间内取任何值。例如，一个人的身高、一辆车行驶的时间。
• 分布的意义：
  • 概率分布是统计学和概率论的基石。它能帮助我们：
    • 预测： 了解未来可能发生的事件的概率。
    • 决策： 在不确定性下做出更合理的选择。
    • 分析： 识别数据中的模式和异常。

离散	连续/极限	notes
二项分布	泊松分布
几何分布	指数分布
负二项分布	伽马分布
泊松分布	正太分布	$\lambda$ 足够大

离散概率分布

二项分布

• 二项分布 (Binomial Distribution)
• 描述在 $n$ 次独立试验中，成功次数的分布。
• $B(n, p)$
  • 其中 $n$ 是试验次数，$p$ 是单次成功的概率。
• PMF: $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
  • 其中 $k$ 是成功次数，$p$ 是单次成功的概率。
• $E(X)=np$
• 应用场景
  • 产品质检： 100个产品中，有多少个是合格品（假设合格率固定）。
  • 抽样调查： 随机抽取20人，其中有多少人支持某个政策。
  • 体育比赛： 射手10次射门中，命中靶心的次数。

几何分布

• 几何分布 (Geometric Distribution)
• 描述第一次成功之前的失败次数。
• 描述第一次成功所需的试验次数。
• $Geo(p)$
  • 其中 $p$ 是单次成功的概率。
• PMF: $P(X=k) = (1-p)^{k-1} p$
  • 表示第 $k$ 次试验中第一次成功的概率。
• $E(X)=\frac{1}{p}$
• 应用场景
  • 市场营销： 平均需要打多少个推销电话才能成功卖出一单。
  • 生物实验： 进行多少次杂交实验才能得到第一个具有特定基因型的后代。
  • 游戏抽奖： 玩多少次抽奖才能抽到稀有物品。

负二项分布

• 负二项分布 (Negative Binomial Distribution)
• 几何分布是负二项分布$r=1$的特例。
• $NB(r, p)$
  • 其中 $r$ 是成功次数，$p$ 是单次成功的概率。
• PMF: $P(X=k) = C(k-1, r-1) p^r (1-p)^k$
• $E(X)=\frac{r}{p}$
• 应用场景
  • 医生看病： 需要看多少个病人才能遇到5个患有某种特定疾病的病人。
  • 金融投资： 需要进行多少次投资才能获得3次盈利。
  • 生产线： 生产多少个零件才能得到10个合格品。

连续概率分布

正态分布

• 正态分布 (Normal Distribution)
• 高斯分布（Gaussian Distribution）
• 自然界和统计学中最重要、最常见的连续概率分布之一。它以其独特的“钟形曲线”而闻名。
• 描述数据在平均值附近对称分布的情况。
• 参数
  • 均值 $\mu$： 分布的中心位置，决定了钟形曲线的对称轴。
  • 方差 $\sigma^2$ 或 标准差 $\sigma$： 决定了分布的“胖瘦”或“扩散程度”。
    • $\sigma$ 越大，曲线越扁平，数据越分散。
    • $\sigma$ 越小，曲线越陡峭，数据越集中。
• 符号表示
  • $N(\mu, \sigma^2)$
• PDF: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
• PDF: $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
• $E(X)=\mu$
• 标准化正态分布 (Standard Normal Distribution)
  • 当 $\mu=0$ 且 $\sigma=1$ 时，称为标准正态分布，记作 $N(0, 1)$ 或 $\mathcal{Z}$ 分布。
  • 任何一个正态分布都可以通过标准化转换为标准正态分布：
    • $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
• “68-95-99.7”法则 (经验法则)
  • 68% 的数据在 $\mu \pm \sigma$ 范围内, 即距均值1个标准差之内
  • 95% 的数据在 $\mu \pm 2\sigma$ 范围内, 即距均值2个标准差之内
  • 99.7% 的数据在 $\mu \pm 3\sigma$ 范围内, 即距均值3个标准差之内
• 6 西格玛 (Six Sigma)
  • 质量管理方法，旨在减少缺陷率，通常假设数据服从正态分布。
• 应用场景
  • 自然科学： 许多自然测量数据，如人类身高、体重、血压、测量误差、物理实验结果等，都近似服从正态分布。
  • 社会科学： 心理学测试分数（如智商）、考试成绩、某些人口学特征。
  • 经济金融： 股票价格的对数收益率（通常假定服从正态分布）、资产回报率、某些经济指标的波动。
  • 质量控制： 生产线上产品的尺寸、重量等指标的波动范围。
  • 统计推断： 许多统计方法（如假设检验、置信区间）都基于数据服从正态分布或其统计量服从正态分布的假设。
  • 机器学习： 许多算法（如线性回归、逻辑回归）在输入数据为正态分布时表现更好，或者模型误差假定服从正态分布。

指数分布

• 指数分布 (Exponential Distribution)
• 描述事件发生的时间间隔。
• $Exp(\lambda)$
  • 其中 $\lambda$ 是事件发生的平均速率。
• PDF: $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$
• $E(X)=\frac{1}{\lambda}$
• 应用场景
  • 设备寿命： 电子元件的无故障工作时间。
  • 服务等待： 顾客在银行排队等待服务的时间。
  • 电话接听： 两通电话打进来的时间间隔。

伽马分布

• 伽马分布 (Gamma Distribution)
• 描述等待时间的分布，特别是多个独立事件的总等待时间。
• $Gamma(k, \theta)$
  • 其中 $k$ 是形状参数，$\theta$ 是尺度参数。
  • $\theta = 1/\lambda$，其中 $\lambda$ 是速率参数。
• $Gamma(k, 1/\lambda)$
• PDF: $f(x) = \frac{x^{k-1} e^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^k \Gamma(k)}$
• PDF: $f(x) = \frac{\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(k)}$
  • 其中 $\Gamma(k)$ 是伽马函数。
• $E(X)=k\theta$
• 应用场景
  • 生物统计： 描述细胞分裂的时间间隔。
  • 保险精算： 描述索赔金额的分布。
  • 排队论： 描述顾客到达服务台的时间间隔。

泊松分布

• 泊松分布 (Poisson Distribution)
• 描述在固定时间内某事件发生的次数。
• $Poisson(\lambda)$
  • 其中 $\lambda$ 是单位时间内事件发生的平均次数。
• PMF: $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
• $E(X)=\lambda$
• 应用场景
  • 电话呼叫中心： 每小时接到的电话数量。
  • 交通流量： 每分钟通过某个路口的车辆数量。
  • 生物统计： 某种罕见疾病在特定人群中的发病率。